求微分方程dy⼀dx=y⼀x+x^2的通解

求微分方程dy/dx=y/x+x^2的通解

令y/x=u,则dy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx+u,所以原等式变为xdu/dx+u=u+x,du/dx=x,∴du=xdx,

∫1du=∫xdx,∴u=1/2*x^2+C

将y带入，得到y/x=1/2*x^2+C,即得y=x(1/2*x^2+C).

扩展资料：

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

解：（常数变易法）
∵dy/dx=y/x ==>dy/y=dx/x
==>ln│y│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=xC
∴根据常数变易法，设原微分方程的解为y=xC(x) (C(x)表示关于x的函数)
把它代入原方程，得xC'(x)=x²
==>C'(x)=x
==>C(x)=x²/2+C (C是积分常数)
故原微分方程的通解是y=x(x²/2+C)=x³/2+Cx （C是积分常数）。

令y/x=u,则dy/dx=d(ux)/dx=xdu/dx+u,所以原等式变为xdu/dx+u=u+x,du/dx=x,∴du=xdx,
∫1du=∫xdx,∴u=1/2*x^2+C
将y带入，得到y/x=1/2*x^2+C,即得y=x(1/2*x^2+C).

dy/dx-y/x=x^2
y=eS1/xdx{Sx^2(eS-1/xdx)dx+c}
y=x(x^2/2+c)
S表示积分符号