58问答库 > 在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并请说出你的理由。

在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并请说出你的理由。

2025-03-14 21:12:28

推荐回答（5个）

回答（1）：

要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点，连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点。如图所示：

解题过程：

取不同于点O的任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，根据三角形任意两边之和大于第三边可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，那么结合图形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD。

即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小。由此可知，点O就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点。

扩展资料

“三角形两边之和大于第三边”可由欧几里得几何的五条公设直接导出，而由此可以证明两点之间的折线段中，直线段最短。

四边形有两条对角线，四边形面积等于两条对角线的积的一半。例：四边形ABCD中，AC⊥BD ，则S□ABCD=1/2·AC·BD

对角线垂直的特殊四边形有：菱形、正方形、特殊梯形。

四边形不具有三角形的稳定性，易于变形，但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。

参考资料来源：百度百科--两点之间线段最短

参考资料来源：百度百科--四边形

回答（2）：

如图，△AOC中，AO+CO>AC，同理BO+DO>BD。所以要使距离和最小，点O只能为对角线交点，此时两个三角形不存在，AO+CO=AC,BO+DO=BD。

回答（3）：

AC与BD的交点即为所求点O
原因：任取另外一点O' 由两点之间线段最短比较可知：
BO'+DO'>=BO+DO
AO'+CO'>=AO+CO
两等号不能同时取得
所以
AO'+BO'+CO'+DO'>AO+BO+CO+DO
即除点O外任意点到ABCD距离之和都大于点O
所以O点即为所求对的话，就赞一个吧

回答（4）：

AC与BD的交点O就是
因为O点在线段AC上，也在BD上，那么点O到A，B,C,D的距离是OA+OB+OC+OD=OA+OC+(OB+OD)=AC+BD

回答（5）：

对角下交点即为所求的点O

不妨另设一点P
则PB+PD>BD,PA +PC>AC
所以
PA+PC+PB+PD>OA+OB+OC+OD

所以对角线的交点O就是所求的点

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