求cos^2x⼀x*(π-2x)定积分，上限π⼀3下限π⼀6

题中分母为x*(π-2x) ，以下按照分母为x*(π-2x) 计算

(1) [π/6,π/3] ∫cos²x/[x*(π-2x)] dx

= [π/6,π/3] ∫cos²x*[1/x + 2/(π-2x)] dx

= [π/6,π/3] ∫cos²x/x *dx + [π/6,π/3 ∫cos²x/(π/2-x) *dx

(2) 对积分式第一部分积分变量变为u, u=x

[π/6,π/3] ∫cos²x/x *dx

= [π/6,π/3] ∫cos²u/u *du

(3) 对于积分式的第二部分作变量代换 令u=π/2-x ==> dx = -du, 则

[π/6,π/3] ∫cos²x/(π/2-x) *dx

= [π/3,π/6] ∫cos²(π/2-u)/u *(-du) //注意积分限的变化

= [π/6,π/3] ∫sin²u/u * du

(4) 两部分合并得到：

原积分式= [π/6,π/3] ∫cos²u/u *du + [π/6,π/3] ∫sin²u/u * du

= [π/6,π/3] ∫(sin²u+cos²u)/u * du

= [π/6,π/3]∫1/u * du = ln2

积分

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

解：题中分母为x*(π-2x) 吧，以下按照分母为x*(π-2x) 计算
(1) [π/6,π/3] ∫cos²x/[x*(π-2x)] dx
= [π/6,π/3] ∫cos²x*[1/x + 2/(π-2x)] dx
= [π/6,π/3] ∫cos²x/x *dx + [π/6,π/3 ∫cos²x/(π/2-x) *dx

(2) 对积分式第一部分积分变量变为u, u=x
[π/6,π/3] ∫cos²x/x *dx
= [π/6,π/3] ∫cos²u/u *du

(3) 对于积分式的第二部分作变量代换 令u=π/2-x ==> dx = -du, 则
[π/6,π/3] ∫cos²x/(π/2-x) *dx
= [π/3,π/6] ∫cos²(π/2-u)/u *(-du) //注意积分限的变化
= [π/6,π/3] ∫sin²u/u * du

(4) 两部分合并得到：
原积分式= [π/6,π/3] ∫cos²u/u *du + [π/6,π/3] ∫sin²u/u * du
= [π/6,π/3] ∫(sin²u+cos²u)/u * du
= [π/6,π/3]∫1/u * du = ln2