求不定积分∫√1＋x^2 dx，根号下是1＋x^2

2024-12-02 07:02:42

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回答（2）：

作三角代换，令x=tant 则∫√（1＋x^2） dx=∫sec³tdt=∫sect(sect)^2dt=∫sectdtant=secttant-∫tantdsect=secttant-∫(tant)^2sectdt=secttant-∫((sect)^2-1)sectdt
=secttant-∫(sect)^3dt+∫sectdt
=secttant+ln│sect+tant│--∫(sect)^3dt
所以∫(sect)^3dx=1/2（secttant+ln│sect+tant│）+C
从而∫√（1＋x^2） dx=1/2（x√（1+x²）+ln（x+√（1+x²）））+C

回答（3）：

求不定积分∫√(1＋x²) dx
解：令x=tanu，则dx=sec²udu，代入原式得：
∫√(1＋x²) dx=∫[√(1+tan²u)]sec²udu=∫sec³udu=∫du/cos³u=sinu/(2cos²u)+(1/2)ln(secu+tanu)+C
=tanu/(2cosu)+(1/2)ln(secu+tanu)+C=x√(1+x²)+(1/2)ln[x+√(1+x²)]+C