数学分析题，求高手指点。

此题用洛必达法则是行不通的（至少我没想到什么方法）
为了解决此题，先证明一个引理，即此题的逆命题：已知f(x)在(a,+∞)上可微，若limf'(x)=0，则lim(f(x)/x)=0。（lim中的x趋于正无穷就省略了）
引理的证明：∵limf'(x)=0，故对于任意ε>0，存在正数M(ε)>a，当x>M时，|f'(x)|<ε。
令g1(x)=f(M)+ε(x-M)=εx+f(M)-εM，g2(x)=f(M)-ε(x-M)=-εx+f(M)+εM
则-ε=g2'(x)∴当x>M时g2(x)∴g2(x)/x即-ε+(f(M)+εM)/x取N=max{M,|f(M)+εM|/ε,|f(M)-εM|/ε}
则当x>N时-2ε即lim(f(x)/x)=0。
引理证毕。
回到原题，不妨设limf'(x)=t，那么令h(x)=f(x)-tx，则iimh'(x)=0，由引理知lim(h(x)/x)=0
即lim(f(x)/x-t)=0，∴0=lim(f(x)/x)=t。命题得证。

关于你补充的题目最直接的方法就是将其通项公式求出来：x[n]=(2/3)(1-(-1/2)^n)，在直接令n趋于无穷得其极限2/3

本题目的条件不充分，结论不能成立；
例如：f(x)=sinx，则x →∞ 时，sinx/x →0;
而且(sinx)' = cosx ; x →∞ 时 cosx有界；题目的的所有条件满足；
但是 x →∞ 时 cosx 的极限不定，即sinx 导数的极限为0 不成立；

分式那个极限上下求导，用罗必达法则。