这顶草帽抵钱2元。
因每只羊所能卖的钱数恰好与兄弟二人所有的羊的总数一样多，故所卖的钱数为一个完全平方数。而按照他们二人的分钱的方法可知，总钱数的十位数一定是奇数，而不是偶数；又因为兄弟二人所分得的钱数相等，因此，总钱数的个位数上的数字一定是偶数。
而一个完全平方数的个数数字只可能是0、1、4、5、6、9，但这时的个位数字只可能是4或6(不可能是0，因为哥哥取走整10元的钱后，还有不足10元钱的余钱)。
而当个位数字是4时，其对应的完全平方数的十位数字总是偶数，而不是奇数[这是因为：个位数字为4的完全平方数，只可能是形如10n+2或10n＋8的数，从而（10n+2）2＝100n2+40n+4或(10n＋8)2=100n2+160n+64=100n2+(16n+6)×10+4，其中n为大于或等于零的整数。
当完全平方数的个位数字是6时，其对应的十位数字总是奇数，而不是偶数[这是因为：个位数字为6的完全平方数，只可能是形如10n+4或10n＋6的数，从而(10n+4)2＝100n2+80n+16＝100n2+(8n+1)×10+6或(10n＋6)2=100n2+120n+36=100n2+(12n+3)×10+6，其中n为大于或等于零的整数。]
也就是说，兄弟二人卖羊的总钱数为一个完全平方数，而且这个完全平方数的十位数字为奇数，个位数字始终是6，从而当哥哥和弟弟轮流取走10元钱之后，最终总会剩下16元钱；而哥弟二人所分得的钱数是相等的，最后二人应该各得8元，但哥哥却取走了10元，因而哥哥给弟弟的帽子值2元钱。比如42＝16、62＝36、142=196、162＝256，……，都是满足条件的解。
草帽9元钱。
设弟弟取了a次十元钱。他们有b只羊。
则总钱数为：2x10xa+10+草帽
卖羊的钱为bxb
因为弟弟最后一次拿了不到十元钱，而哥哥给了草帽后两人拿了一样的钱，所以草帽小于10元。
所以，10+草帽<20 即10
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