58问答库 > 设f(x)在(a,+∞)内可导,且limf(x)=A>0(当x-->+∞)，证明limf(x)=+∞(当x-->+∞)

设f(x)在(a,+∞)内可导,且limf(x)=A>0(当x-->+∞)，证明limf(x)=+∞(当x-->+∞)

2024-11-28 17:29:46

推荐回答（2个）

回答（1）：

题目条件应该是lim{x->+∞}f'(x)=A>0
则由极限的保号性可知存在X, 当x>=X时, f'(x)>A/2
所以当x>X时, 由拉格朗日中值定理存在c∈(X,x)使得f(x)-f(X)=f'(c)(x-X)>A/2 × (x-X) （这里c>X所以f(c)>A/2）
所以f(x)>f(X)+A(x-X)/2->+∞ (当x->+∞)

回答（2）：

f'(x)-A/2趋向于A/2>0，由保号性，存在X>0,当x>X时有f'(x)-A/2>0,即f'(x)>A/2.
取x0=X+1, 任取x>x0, 在[x0,x]上应用拉格朗日中值定理知，存在t介于x0和x之间，使得
f(x)-f(x0)=f'(t)(x-x0),即有 f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x))>f(x0)+(A/2)(x-x0).
显然当x趋向于正无穷时，有f(x0)+(A/2)(x-x0)-->正无穷，于是也有f(x)-->正无穷..
答案来源：http://zhidao.baidu.com/question/334402167.html