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求助】证明二阶混合导数结果与求导顺序无关的充要条件是混合导数在定义域连续

2024-11-09 03:45:10

推荐回答（2个）

回答（1）：

定理：若z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数，在=（,）的某邻域U（）内存在，且它们在连续，则=。

分析，按定义(x,y)=,

(x,y)=,

(x,y)=[(x,y)]= =

=

故

证明：分别给x,y以改变量，，使（），（），（）均在U（）内，记A=，

，

有A=，因为在U（）内存在，即在的某领域内可导，故满足拉格朗日中值定理条件。因A=，，A==，其中0<<1,

A=,在对y用拉格朗日中值定理，得

A=,(),另外A=，

记，从而

A=（由拉格朗日中值定理）=

=()

A=,A=

故=

令.因为，在连续，有=.

所以若混合偏导数连续，则混合偏导相等。对于二元以上的函数，两个二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。
e ,不好意思发现公式什么的都发不上去。。要的话留邮箱吧

回答（2）：

混合导数在定义域连续只是二阶混合导数结果与求导顺序无关的充分条件，而非必要条件。