如何证明a·b=|a|·|b| cosθ这个公式

2025-03-19 15:05:16

推荐回答（5个）

回答（1）：

a·b=|a|·|b| cosθ这个公式就相当于把（a,b）的夹角θ控制在0°→180°之间。

即：选其中一个向量方向为正方向，a·b比如说 b方向，画直角坐标系（y，b）则他们的夹角，

0°＜θ≤90°时，cosθ是（+），a·b是（+）
90°＜θ≤180°时，cosθ是（-），a·b（-）
180°＜θ≤270°时，cosθ是（+），a·b（+）
270°＜θ≤270°时，cosθ是（-），a·b（-）

符号完全互补，而|a|·cosθ就是向量a在b方向上的投影（即长度），另外的分量 y*b＝0。

所以，数量积成立，没有错！

公式得证。

回答（2）：

公式 a·b=|a|·|b|cosθ 是数学中为内积作的定义,
a·b=x1·x2+y1·y2 是由此推导出来的,需要和差化积公式。

先取 α,β介于0到2π , 分别代表由 x正实轴转到 a,b 向量的夹角。不妨假设 α>β,(β>α可类似证明)可得到四个三角函数值：

sin α = y1/sqrt(x1^2+y1^2)
cos α = x1/sqrt(x1^2+y1^2)

sin β = y2/sqrt(x2^2+y2^2)
cos β = x2/sqrt(x2^2+y2^2)

其夹角取 θ = α-β ,则 cos θ =cos(α-β) 套用和差化积公式
cos( α-β) = (cos α)*(cos β) + (sin α)*(sin β)
带入后约去分母，一下便得到结果！

写在纸上一目了然。另外说一下，sqrt 表示取平方根， ^ 也就是键盘 6 上头那个符号，在数学中表示平方的意思。例如
|a|=根号下[（x1)2+(y1)2]
即可表示为
|a|=sqrt(x1^2+y1^2)
其他类似。

回答（3）：

a·b=x1·x2+y1·y2
|a||b|cosθ =|a||b|*(|a|^2+|b|^2-(y1-y2)^2-(x1-x2)^2)/2|a||b|
=(x1^2+y1^2+x2^2+y2^2-x1^2-x2^2-y1^2-y2^2+2*x1x2+2*y1y2)/2
=x1y1+x2y2
得证

回答（4）：

用图象法证明
A向量的模*cosθ就是他的投影
向量相乘，模等于两者模的乘积；
至于角度，相当于把a向量逆时针方向旋转b向量的角度
a与b的点乘可以看作力a在位移b上做的功
那么a在b方向上的分力记为Prjba=|a|*cos|a,b|(|a,b|为a,b间夹角)
所做功为W=|b|*Prjba=|a||b|cos|a,b|

回答（5）：

数学中定义a点乘b等于a的模乘以b的模再乘以向ab夹角的余弦,这个公式是一个定义式,所以不存在证明.
你给出的证明中"a·b=x1·x2+y1·y2 ",是根据这个定义式推出来的.或者说,这是a点乘b的另一种定义.
你可以想想公式S=VT.路程等于速度乘以时间,这就是定义式一个例子,你能告诉我这个公式怎么证明麽?