直角三角形的内切圆半径与三边关系公式怎么证明？

2024-11-02 06:58:17

推荐回答（4个）

回答（1）：

已知：Rt△ABC中∠C=90°,内切圆⊙O分别切AB、BC、CA于D、E、F。

求证：⊙O半径=(a+b-c)/2。

证明：∵⊙O切AB、BC、CA于点D、E、F。

由切线长定理得：AE=AF、BD=BF,∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE。

∵四边形CDOE中,∠C=∠CDO=∠CEO=90°且OD=OE。

∴四边形CDOE是正方形,CD=CE=OD。

∴⊙O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2,证毕。

扩展资料：

直角三角形具有一些特殊的性质：

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、在直角三角形中，两个锐角互余。

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

6、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

回答（2）：

已知：Rt△ABC中∠C=90°，内切圆⊙O分别切AB、BC、CA于D、E、F

求证：⊙O半径=(a+b-c)/2

证明：∵⊙O切AB、BC、CA于点D、E、F，

由切线长定理得：AE=AF、BD=BF，∴AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE

∵四边形CDOE中，∠C=∠CDO=∠CEO=90°且OD=OE，

∴四边形CDOE是正方形，CD=CE=OD，

∴⊙O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2，证毕。

回答（3）：

设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有

证明如图1，设圆I切Rt△ABC三边于D、E、F，连结ID、IE．

易得IDCE是正方形．

∴2r=CD＋CE=(a-BD)+(b-AE)=a＋b-(BF＋AF)=a＋b-c，

在有关直角三角形的一些问题中，应用这个公式来解决非常方便

回答（4）：

证明：
由等面积易得：ab=(a+b+c)r
即：(a+b)^2-a^2-b^2=2(a+b+c)r
(a+b)^2-c^2=2(a+b+c)r
(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)r
r=(a+b-c)/2