数学分析，级数考研题

2025-02-26 23:28:33

推荐回答（5个）

回答（1）：

设f(x) = x^a, 由Lagrange中值定理,
对任意x ∈ (0,1), 存在y ∈(x,1),
使(f(1)-f(x))/(1-x) = f'(y) = ay^(a-1) > a (∵y ∈(0,1), a ∈(0,1)),
即得(1-x^a)/a > 1-x.

在上式中取x = n/(n+1), 得(1-n^a/(n+1)^a)/a > 1/(n+1),
整理得1/(n^a(n+1)) < 1/a·(1/n^a-1/(n+1)^a).
对n取遍全体正整数求和, 即得:
∑{1 ≤ n} 1/(n^a(n+1)) < 1/a·∑{1 ≤ n} (1/n^a-1/(n+1)^a) = 1/a.
首先, 易知f(x)在[0,1]有上界,
从而可设M为f(x)在[0,1]上的上确界.
对任意正整数k, 由f[k](x) ≥ f(x),
可知f[k](x)在[0,1]上的最大值 ≥ M.
因此集合E[k] = {x ∈ [0,1] | f[k](x) ≥ M} ≠ ∅.

由f[k](x)连续, E[k]为闭集.
又由f[1](x) ≥ f[2](x) ≥..., 有E[1] ⊇ E[2] ⊇...
即E[k]是[0,1]中一列递减的非空闭集.
由"闭集套定理", 它们的交非空.
即存在c ∈ [0,1], 满足f[k](c) ≥ M, 对任意k成立.
于是f(c) ≥ M, 即得f(x)在x = c处取得最大值.

所谓"闭集套定理"是指"闭区间套定理"的简单推广,
一样可使用有限覆盖定理证明.
记F(x) = ∫{0,x} sin(t)/t dt (x ≥ 0).
则F(x)在x = π, 3π, 5π,...处取得极大值,
进而可知其在x = π处取得最大值.
另一方面F(x)在x = 2π, 4π, 6π,...处取得极小值,
进而可知其在x = 0处取得[0,+∞)上的最小值.
因此|∫{a,b} sin(t)/t dt| = |F(b)-F(a)| ≤ F(π)-F(0) ≤ 3.
对0 ≤ a < b, 可设x[n-1] < a ≤ x[n], x[m] ≤ b < x[m+1].
|∫{a,b}f(x)dx| ≤ |∫{a,x[n]}f(x)dx|+|∫{x[n],x[m]}f(x)dx|+|∫{x[m],b}f(x)dx|
≤ |∫{x[n-1],x[n]}f(x)dx|+|∫{x[n],x[m]}f(x)dx|+|∫{x[m],x[m+1]}f(x)dx|.
当a → +∞, 有n, m → ∞.
根据Cauchy收敛准则, 右端三项都收敛到0.
从而|∫{a,b}f(x)dx|也收敛到0, 再由Cauchy收敛准则即知积分收敛.
可以用积分余项.
设g(x)为f(x)的n阶导数, 则g(x)在[a,a+r]非负.
对x ∈ [a,a+r], 展开到n-1阶的余项为:
R(x) = 1/(n-1)!·∫{a,x} g(t)·(x-t)^(n-1) dt.
易见(x-t)/(a+r-t)关于t单调递减, 故(x-t)/(a+r-t) ≤ (x-a)/r.
因此R(x) ≤ 1/(n-1)!·((x-a)/r)^(n-1)·∫{a,x} g(t)·(a+r-t)^(n-1) dt
≤ 1/(n-1)!·((x-a)/r)^(n-1)·∫{a,a+r} g(t)·(a+r-t)^(n-1) dt
= ((x-a)/r)^(n-1)·R(a+r)
≤ ((x-a)/r)^(n-1)·f(a+r).
对x ∈ [a,a+r), 上式随n → ∞收敛到0.
对我来说, 第1步裂项是比较自然的.
后面Cauchy不等式的用法技巧性较强,
在某些分析领域, 可以见到这种估计目标在两端都出现的技术,
不过我学的不好, 就不妄加评论了.
我的话会证明∑k/A[k]有界, 因为见过这道题目.

回答（2）：

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回答（3）：

回答（4）：

你好！你没做错，是答案写错了，前面漏了系数1/3。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

回答（5）：

题呢。打回去吧。

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