58问答库 > 求极限：lim(x→0）(1⼀x^2)[1-cosx(cos2x)^(1⼀2)(cos3x)^(1⼀3)...(cosnx)^(1⼀n)]

求极限：lim(x→0）(1⼀x^2)[1-cosx(cos2x)^(1⼀2)(cos3x)^(1⼀3)...(cosnx)^(1⼀n)]

2024-11-09 00:12:56

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回答（1）：

解：需要用到的知识点，等价无穷小+重要极限+洛必达法则
首先证明：当x→0，(cosnx)^(1/n) ~ 1-(n/2)*x^2 (等价无穷小）
这是因为，lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n，应用洛必达法则，上下同时求导，得
上式 = lim(x→0)(-nsinnx)/[n*[(1-(n/2)*x^2)^(n-1)]*(-n*x) = lim(x→0)sinnx/nx = 1

于是
所求极限的分子可等价于
1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)
~1-(1-(1/2)*x^2)*(1-(2/2)*x^2)*...*(1-(n/2)*x^n) 展开
~1-(1-(1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 + o(x^4)) ~ (1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 - o(x^4)
因此所求极限=(1/2+2/2+3/2+...+n/2)=(n+1)*n/2/2 = n*(n+1)/4