二. 一个矩阵如果与对角阵相似,则P不是别的,P矩阵的列向量就是A的特征向量
证明: 设n阶方阵A与对角矩阵相似, 即有
P^-1AP = diag(λ1,λ2,...,λn)
其中P为可逆矩阵.
令 P = (α1,α2,...,αn)
则由 AP = Pdiag(λ1,λ2,...,λn) 得
A(α1,α2,...,αn) = (α1,α2,...,αn)diag(λ1,λ2,...,λn)
即有 (Aα1,Aα2,...,Aαn) = (λ1α1,λ2α2,...,λnαn)
所以 Aαi = λiαi, i=1,2,...,n
再由P可逆知 αi≠0, i=1,2,...,n
所以 λi 是A的特征值, αi是A的属于特征值λi的特征向量.
故(1),(2)得证.
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