高中数学均值不等式部分的公式

2024-11-05 03:00:30

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回答（1）：

a^2+b^2 ≥ 2ab

√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac

a+b+c≥3×三次根号abc

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

扩展资料：

特例

⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）

⑵对非负实数a,b，有，即

⑶对非负实数a,b，有

⑷对非负实数a,b，a≥b,有

⑸对非负实数a,b，有

⑹对实数a,b，有

⑺对实数a,b,c，有

⑻对非负数a,b，有

⑼对非负数a,b,c，有；在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：；当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

回答（2）：

a^2+b^2 ≥ 2ab
√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2
a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac
a+b+c≥3×三次根号abc

回答（3）：

a²＋b²≥2ab
（a²＋b²）÷2≥（a＋b）÷2≥√ab
a²＋b²＋c²≥(a＋b＋c)²÷3≥ab＋bc＋ac

回答（4）：

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回答（5）：

a+b=2√ab
a²+b²=ab