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微分方程dy⼀dx+y⼀x=sinx的通解，要详细的解说，帮帮忙

2024-11-17 03:57:36

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回答（1）：

解：（常数变易法）
∵dy/dx+y/x=0 ==>dy/y=-dx/x
==>ln│y│=-ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=C/x
∴根据常数变易法，设原方程的解为y=C(x)/x (C(x)表示关于x的函数)
∵y'=[xC'(x)-C(x)]/x²，代入原方程得 [xC'(x)-C(x)]/x²+C(x)/x²=sinx
==>C'(x)/x=sinx
==>C'(x)=xsinx
∴C(x)=∫xsinxdx
=-xcosx+∫cosxdx (应用分部积分法)
=-xcosx+sinx+C (C是积分常数)
故原方程的通解是y=(sinx-xcosx+C)/x。

回答（2）：

这是一阶非齐次线性常微分方程，高等数学数上一般都会讲。