微分中值定理有什么用啊？

函数的许多重要性质如单调性，极值点，凹凸性等均由函数增量与自变量增量间的关系来表达，微分中值定理(拉格朗日中值定理与柯西中值定理)正是建立了函数增量、自变量与导数间的联系，因此，根据它，可以用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点。

在理解有关定理的基础上，掌握用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，并体现在函数的作图上(包括求函数的渐近线)

微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。要掌握求最值的方法并会解简单的应用题。求最值关键是求驻点。

扩展资料：

微分中值定理，柯西定理内容：

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0

那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立

[中值定理]分为： 微分中值定理和积分中值定理：

以上三个为微分中值定理定积分第一中值定理为：

f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）

注：积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。

也许是你用的书写得太简略，或者是你自己跳过了诸如凹凸性，单调性，极值等问题的严格推导。

首先从几何的角度讲，中值定理可以用来描述几何直观，比如Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的几何意义都是“存在与割线平行的切线”，Taylor中值定理的几何意义则比较复杂，可以理解成用高次曲线而非直线去代替割线。

你只要去看一下单调性凹凸性等你认为特别有用的性质的具体讨论就会发现这些几何上很直观的性质严格证明并不容易，或者通俗地讲就是很多看着很显然的东西在逻辑上讲不清楚，而中值定理恰好可以把那些困难的地方给克服了，很好地把几何直观讲清楚，这样才把导数和那些实用的性质联系起来。你不妨自己证明一下f'(x)在区间(a,b)上恒大于0，那么f(x)在(a,b)上严格单调递增，如果不用中值定理的话这个证明是很困难的(当年华罗庚先生曾试图回避中值定理，但是也没能完全做到这一点)。

从数学本身来讲，存在性的定理基本上是最重要的，中值定理无一例外的都是存在性定理，并且其技术价值也远不止表述几何直观那样简单，基本上可以说第一代微积分的大厦至少有一半是由各种中值定理（包括积分中值定理）来搭建的，第二代微积分主要弥补了逻辑基础上的不足，从实用性上则没有太多的改进。目前有学者在研究回避极限和中值定理的第三代微积分，不过个人认为那只是为了让非数学专业的初学者更快入门，用不等式来代替等式总不会是万能的。

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。

微分中值定理有三个：Rolle定理;Lagrange中值定理；Cauchy中值定理；后两个可由Rolle定理推出，主要是用于证明在区间（a，b）上存在ξ使得f（ξ）和其导数满足一定的结论，也就是说，证明在区间（a，b）上存在ξ使得……这句话出现的时候都可以考虑中值定理
另外，Lagrange中值定理可推出用导数判断函数单调性的结论；可推出用二阶导数判断函数凹凸性的结论，推出泰勒公式

详见参考资料 . 都是些学术性的东西, 不是数学专业的还是别研究了, 关于应用你可以搜搜论文.

举例
证明方程x^5+x-1=0只有一个根

1、有根：
设f(x)＝x^5＋x－1，则f(x)在[0,1]上连续，f(0)＜0，f(1)＞0，所以由零点定理，f(x)在(0,1)内有零点ξ，即方程x^5＋x－1＝0有根ξ

2、根唯一
设方程还有一个根η，η≠ξ，不妨假设η＞ξ，则在[ξ，η]上使用罗尔定理，存在ζ∈(ξ，η)，使f'(ζ)＝0. 而f'(x)＝5x^4+1＞0. 矛盾
所以方程只有一根