58问答库 > 高数题目，X1=1，数列Xn+1项加上根号下（1-Xn）等于0，

高数题目，X1=1，数列Xn+1项加上根号下（1-Xn）等于0，

证数列｛Xn｝收敛以及Xn在n趋向无穷时的极限！

2024-11-03 20:53:14

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回答（1）：

X(n+1)+√(1-Xn)=0
1-Xn>=0--> Xn<=1
X(n+1)=-√1-Xn<=0
因此有：n>1, Xn<=0, X1=1 ,X2=0, X3=-1
Xn=-an, an>0, a2=0, a3=1, 记b=(1+√5)/2
1)先证ana(k+1)=√(1+ak)<√(3+√5)/2=b,得证。
2）再证an递增。
a(k+1)=√(1+ak)=ak√(1/ak+1/ak^2)>=ak√(1/b+1/b^2)=ak, 得证
因此数列收敛。假设收敛于X，则有：x=√(1+x)-->x^2-x-1=0--> x=(1+√5)/2=b.