为什么一个矩阵的逆矩阵从矩阵的左边和右边乘都等于单位矩阵？

前提是A和B是方阵
AB=E => det(A)det(B)=1 => det(A)≠0
然后令C=adj(A)/det(A)，那么AC=CA=E，即C是A的双侧逆矩阵
接下来就好办了，C=C(AB)=(CA)B=B，所以B也是A的双侧逆，自然有BA=CA=E

AB=I；BC=I，要证A=C
A=AI=A（BC）=ABC=IC=C即左逆=右逆。另外可以证明逆矩阵唯一

下面贴出的答案来自《线性代数高级教程》。
在证明这个命题时，我们需假定还没有逆矩阵的定义，因为后者是在证明了此命题的基础上才给出的：对方阵A和B，当AB=E，且BA=E时，我们说A和B互为逆矩阵。
下面给出证明：
设A和B属于Mn（F），即定义在F（F=实数R或者复数C）上的n阶方阵。AB=E，则对任何向量X属于F^n向量空间，有ABX=X。如果我们把BX看作一个新的向量Y。它说明任意一个F^n上的向量X，等于AY，即等于a1*y1+a2*y2+....+an*yn，其中aj为矩阵A第j列向量，yj是向量Y的第j个分量，进而有：在F^n上的任何一个向量X，可以表示为矩阵A列向量的线性组合，则由A列向量可以生成F^n空间，那么A的列向量空间的维数=n。
根据矩阵的维数定理，A的列向量空间维数+A的零向量空间维数=n，因此A的零向量空间维数=0。
考虑一个矩阵：C=（E-BA），则AC=A-ABA=0。又：AC可以表示为[Ac1 Ac2 ... Acn]，cj为C的第j列向量，由AC=0，可知Acj=0，则cj在A的零向量空间。由于A的零向量空间维数为0，所以A的零向量空间中只有一个零向量，即cj=0，即所有c1，c2，...cn都为零，则C=0，即E-BA=0，BA=E，命题得证。