分数的意义，分数乘除法，分数变小数，小数变分数 百分数的意义，以及生活中常见的百分数题，比例和比例尺

1.分数的意义:（1）单位“1”既可以表示一个物体，也可以表示一些物体，体现了部分与整体的关系。同一个分数可以表示不同的具体量，体现了分数的抽象性。（2）分数单位的概念。
2.分数乘除法:分数乘除法
　　1、分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。
　　例1：4/5×3=4×3/5=12/5
　　例2：3/22×2=3×2/22=6/22=3/11
　　2．分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。
　　例1：5/6×1/3=5×1/6×3=5/18
　　例2：2/5×1/4=2×1/5×4=2/20=1/10
　　3．分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后要化成最简分数。
　　例1：4/15÷2=4÷2/15=2/15
　　例2：42/30÷7=42÷7/30=6/30=1/5
　　4．分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要化成最简分数。
　　例1：3/8÷2=3/8×1/2=3×1/8×2=3/16
　　例2：4/5÷6=4/5×1/6=4×1/5×6=4/30=2/15
　　5．分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。
　　例1：2/3÷3/4=2/3×4/3=2×4/3×3=8/9
　　例2：2/15÷1/3=2/15×3=2×3/15=6/15=2/5
3.分数变小数:　　分数化小数是先看分母的素因数有哪些，如果只有2和5，那么就能化成有限小数，如果不是，就不能化成有限小数。　　注意：必须是最简分数。
4.小数变分数:小数部分有几个零就有几位分母。例：0.45=45/100=9/20
　　如是纯循环小数，循环节有几位，分母就有几个9。例：0.3（3循环）=3/9=1/3
　　如是混循环小数，循环节有几位，分母就有几个9；不循环的数字有几位，9后面就有几个0，而分子是用小数部分组成的数减去不循环的部分。例：0.12（2循环）=(12-1)/90=11/90
　　注意：最后一定要约分。
5.百分数的意义:百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。　
　　百分比虽以100为分母，但分子可以大于100，如200%即代表原本数字的2倍。举例如一间公司去年纯利100万元，今年的纯利为120万元，则可以表示成“今年的纯利比去年增加20%”，亦可写成“今年的纯利是去年的120%”，但这种写法较少使用。百分比有时可能造成误会，不少人认为一个百分比的上升会被相同下降的百分比所抵消，例如从100增加50%，等于100+50，即150。而从150下降50%则是150-75，等于75。最终结果是小于原本的数字100。百分数的分子还可以是小数。
6.生活中常见的百分数题:一年级有学生100人，其中女同学有47人，女同学即占全年级人数的百分之四十七，写作47%．又如，二年级有学生200人，其中女同学有100人，女同学即占全年级人数的百分之五十．在这两个例子中，两个年级的人数都是“标准量”，而女同学的人数为“比较量”．在百分数应用题的教学中要抓住 比较量÷标准量=百分率（百分数）这一数量关系式进行分析．
7.比例和比例尺:比例，数量之间的对比关系，或指一种事物在整体中所占的分量，还是技术制图中的一般规定术语，是指图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。在数学中，比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小或扩大的程度。公式为：比例尺=图上距离：实际距离。比例尺有三种表示方法:数字式，线段式，和文字式。三种表示方法可以互换。
8.分解质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。 分解质因数只针对合数.
9.公约数:公约数，亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数(H.C.M. / G.C.D.)。
10.平行四边形和梯形的特征:（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
　　（1）平行四边形对边平行且相等。
　　（2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形）
　　（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补。　
　　（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）
　　（5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
　　（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
　　（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
　　（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
　　 性质10（9）矩形 菱形是轴对称图形。
　　（10）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，
　　一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
　　*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。
　　（11）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
　　（12）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
　1．等腰梯形的两条腰相等
　　2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等
　　3．等腰梯形的两条对角线相等
　　4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线
　　5．等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一
　　注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
11.平行四边形、三角形和梯形的面积:平行四边形的面积公式：底×高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah
(1)S△=1/2ah （a是三角形的底，h是底所对应的高）
　　(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）
　　(3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] [p=1/2(a+b+c)]（海伦—秦九韶公式）
　　(4)S△=abc/(4R) (R是外接圆半径)
　　(5)S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
　　(6) ........... | a b 1 |
　　S△=1/2 | c d 1 |
　　............| e f 1 |
　　[| a b 1 | ....| c d 1 | ....| e f 1 |为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小]
　　(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)
　　(8)S正△= [（√3）/4]a^2 (正三角形面积公式，a是三角形的边长) [海伦公式(3)特殊情况]
梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2。
　　用字母表示：（a+b）×h÷2　
　　另一计算公式： 中位线×高
　　用字母表示：l·h
　　对角线互相垂直的梯形：对角线×对角线÷2

分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。 分解质因数只针对合数。
一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 　　例：12=2x2x3
公约数：公约数，亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数(H.C.M. / G.C.D.)。 　　1.对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。
平行四边形：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
（1）平行四边形对边平行且相等。（2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形） （3）平行四边形的对角相等，两邻角互补。（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 　　
性质10（9）矩形 菱形是轴对称图形。（10）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。 　　*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。（11）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。（12）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
梯形：梯形(trapezium)是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形(isosceles trapezium)。等腰梯形 是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。
平行四边形面积：（上底+下底）X高
三角形面积：（上底+下底）X高÷2
梯形面积：（上底+下底）×高÷2
＊组合图形（？）
长方体（特征）：〔1〕长方体有6个面,每个面都是长方形,至少有两个相对的两个面完全相同。特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且完全相同。　 　　〔2〕长方体有12条棱，相对的棱长度相等。可分为三组，每一组有4条棱。还可分为四组，每一组有3条棱。　 　　〔3〕长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。 　　(4) 长方体相邻的两条棱互相（相互）垂直。
正方体（特征）：〔1〕有6个面，每个面完全相同。　 　　〔2〕有8个顶点。 　　〔3〕有12条棱，每条棱长度相等。 　　（4）相邻的两条棱互相（相互）垂直。
长方体（表面积）：设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积S：S = 2ab+2bc+ 2ca = 2 ( ab + bc + ca)
正方体（表面积）：一个面的面积×6=棱长×棱长×6
体积（含义）： 指物质或物体所占空间的大小;占据一特定容积的物质的量（表示三维立体图形大小）。示例1;木箱的体积为3立方米 2;电解水时放出二体积的氢与一体积的氧。

正方体（体积）：棱长×棱长×棱长
长方体（体积）：长×宽×高

呵呵