未抚养孩子的一方有支付抚养费的义务。
可以起诉。
《婚姻法》
第三十七条 离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成时，由人民法院判决。
关于子女生活费和教育费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原定数额的合理要求。
可以索要，因为是女方主动放弃抚养权，孩子最终归属哪方，。另一方在有经济基础的条件下是 有责任 掏抚养费的
可以，直到孩子满18周岁前，或仍在高中学习，都可以起诉要求。
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