高数空间解析几何与向量代数问题：求抛物线z=1+x^2+y^2的一个切平面

2024-10-30 11:18:01

推荐回答（4个）

回答（1）：

令f(x，y，z)=x^2+y^2-z，则f`x｜（1，2，5）=2x｜（1，2，5）=2，f`y｜（1,2,5）=2y｜（1，2，5）=4，f`z｜（1，2，5）=-1｜（1，2，5）=-1，故这一点的法向量为（2，4，-1)，切平面为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0。

求法是在平面内找两个不共线的向量，待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了，为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x，为x代值即可得到一个最简单的法向量。

扩展资料：

注意事项：

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍。

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数乘向量的消去律：如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b，如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

参考资料来源：百度百科-向量

参考资料来源：百度百科-切平面

参考资料来源：百度百科-抛物线

回答（2）：

答案：这一点的法向量为（2，4，-1），切平面为2（x-1）+4（y-2）-（z-5）=0。

令f（x，y，z）=x^2+y^2-z，

则f`x｜（1，2，5）=2x｜（1，2，5）=2，

f`y｜（1，2，5）=2y｜（1，2，5）=4，f`z｜（1，2，5）=-1｜（1，2，5）=-1，

例如：

过直线x-5y-16=0，2y-z+6=0的平面方程可设为

x-5y-16+a（2y-z+6）=0，

将点M（2，-3，1）带入上式，有

0=2+15-16+a（-6-1+6）， a=1，

所以，所求平面方程为 0=x-5y-16+2y-z+6=x-3y-z-10

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

回答（3）：

你的思路完全是对的，只需要耐心的算下去就是了。

回答（4）：

试求切平面、抛物面与柱面三个面围成的立体体积吗？