58问答库 > 一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A，E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n

一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A，E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n

设n阶矩阵A满足A的平方=A，E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n

2024-12-01 04:53:42

推荐回答（2个）

回答（1）：

这是一个很简单的线代证明了！

因为A^2=A，所以A(A-E)=0
则有：
R(A)+R(A-E)小于等于n

又因为(A-E)+(-A)=-E
则有：
R(-A)+R(A-E)大于等于n
由于R(-A)=R(A)
所以R(A)+R(A-E)大于等于n

由夹逼定理可知：
R(A)+R(A-E)等于n

陈文灯的数学考研辅导有专门介绍，楼主可以参考一下。就是一个定理的使用！

相信能够解决您提出的问题！

回答（2）：

因为A*A=A，所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解，由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；
可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n