58问答库 > 计算积分：∫∫ln（1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区

计算积分：∫∫ln（1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区

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2024-11-02 06:51:54

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回答（1）：

∫(D)∫ln（1+x^2+y^2)dxdy
D:x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区
ρ=1,θ从0,到π/2
dS=ρdθdρ
∫(D)∫ln(1+x^2+y^2)dxdy
=∫[0,1]∫[0,π/2]ln(1+ρ^2) ρdθdρ
=∫[0,1]ln(1+ρ^2) ρdρ∫[0,π/2]dθ
=(π/4)∫[0,1]ln(1+ρ^2)d(1+ρ^2) ∫lnxdx=xlnx-x+C
=(π/4)(2ln2-1)

回答（2）：

换极坐标
积分变为∫θ∫r ln(1+r^2)rdrdθ
0<θ<π/2 0=π/2∫ ln(1+r^2)/2dr^2
=π/4∫ lntdt 1=π/4(t*lnt-∫t*dlnt)
=π/4*（2ln2-1）