什么是勾股定理？？？

一、达纲要求：
1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算。
2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。
3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证。
5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。

二、重点提示
1、重点 勾股定理及其应用
2、难点 勾股定理及其逆定理的证明
3、关键点 灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算

三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便。
2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高（或垂线段）构造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据，它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊。

四、典型考题示范
例1.若ΔABC的三外角的度数之比为3：4：5，最长边AB与最小边BC的关系是______。
分析：因为三角形三个外角与三内角互补，三角形的内角和为180°，所以三外角的和为360°，这样三个外角的度数分别为90°，120°，150°，因而三角形之内角的度数分别为90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，应用直角三角形，应用直角三角形的性质可以找到最长边与最短边的关系。
解：设三角形的三个外角分别为3α，4α，5α，则有3α+4α+5α=360°，
∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°
故三角形三个角度数为∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC为含30°的直角三角形。
∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
填 AB=2BC
评注：本题应用勾股定理可以找到三边的关系，若已知一条边的长，可以求其余两边长。

例2.如图3-180，ΔABC中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（ ）
A. 1 B.3 C.6 D. 非以上答案
分析：因为P点到各边的距离都相等，因此可以考虑用面积法求这个距离，由∠B=90°，AB=7，BC=24，由勾股定理可以求出AC的长，所以用面积公式可以求出P点到各边的距离，为此要连结PA、PB、PC。 图3-180
解：由勾股定理得，AC2=AB2+BC2=72+242=252, ∴AC=25，设P点到各边的距离为r，连结PA、PB、PC，依三角形的面积关系有SΔABP+SΔBCP+SΔACP=SΔABC
即
得（7+24+25）r=7×24，∴r=3
评注：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而根据面积关系和面积公式得到关于垂线段的方程，通过解方程，求垂线段的长。用面积法求直角三角形中有关线段的长是各地中考命题的热点。

例3.如图在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：要求四边形的面积可以将四边形转化为三角形通过先求三角形的面积，再求四边形的面积，为了便于利用已知边和角，在作辅助线时，尽量保持已知边和已知角，为此连结四边形的对角线的方法和作AB、DC的延长线均不可取，作BC的延长线与AD的延长线相交于点E，即保留了已知边和已知角，又得到了两个含30°角的直角三角形，使问题变得简单易解。
解：作BC的延长线交AD的延长线于点E
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°
在RtΔCDE中，∠CDE=90°，CD=1
∴CE=2，

在RtΔABE中，∠ABE=90°，AB=2，∠A=60°
∴AE=4，

又∵S四边形ABCD=SΔABE-SΔCDE

评注：本题解答的关键是构造特殊的直线三角形，并且这些特殊三角形以已知线段为边。

五、错例剖析
[例1]已知等腰三角形的底角等于15°，腰长等于2a，求腰上的高。
已知如图3-189，ΔABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，BD是高，求BD的长。
错解：∵∠BAB=∠ABC+∠ACB
∴∠DAB=15°+15°=30°
又∵BD是高，∴在RtΔABD中，AD=AB=a 图3-189
由勾股定理得：
剖析：解析几何问题时，画图很重要，画得准确、规范，可以利用图形的直观，对解题有帮助作用，画得不准则容易造成错觉，本题就是由于作图的不准，误认为∠DBA=30°
改正：如图3-190
∵∠DAB=∠ABC+∠C，∴DAB=15°×2=30°
∵BD是高，∴RtΔABD中，BD=AB=a 图3-190

[例2]若直角在角形的两条边长为6cm，8cm，则第三边长为_____cm。
错解：设第三边长为xcm，由勾股定理得：
62+82=x2,即第三边长为10cm。
剖析：题目中没有已知第三边是斜边还是直角边，需要讨论，这里误认为是斜边，所以，解答不完全。
改正：设第三边长为xcm
若第三边长为斜边，由勾股定理得
若第三边长为直角边，则8cm长的边必是斜边，由勾股定理得

[例3]已知在ΔABC中，三条边长分别为a, b, c，且a=n，,（n为大于2的偶数），
求证：ΔABC是直角三角形。
错误：由勾股定理，得a2+b2=c2
a2+b2=

∴ABC是直角三角形。
剖析：根据三角形的边的关系，判定是否直角三角形，可以用勾股定理的逆定理来解决，这里错误地应用了勾股定理，首先就把ΔABC当成了直角三角形。
改正：a2+b2=
∴ΔABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）

[例4]在ΔABC中，已知∠C=90°,AB=10,∠A=45°,求BC的长。
错解：∵∠C=90°,∠A=45°∴∠B=90°,∠A=45°
∴∠A=∠B ∴BC=AC（等角对等边）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2
∴2BC=10,∴BC=5
部析：上述解答中，“将2BC2=AB2”中的指数约去，这一步显然是错误的。
改正：∵∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-45°=45°
∴∠A=∠B，AC=BC（等角对等边）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即2BC2=AB2，

什么是勾股定理呢

我晕!
勾股定理都不知道啊
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。
据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理
勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。

据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a^2+b^2=c^2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

容易看出，

△ABA’ ≌△AA'C 。

过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，

即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：

⑴ 全等形的面积相等；

⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：

如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图，

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)， ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比较以上二式，便得

a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。

在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我们发现，把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有 BC2+AC2=AB2，这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：

设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，

因为∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

如此等等

两直角边平方和等于斜边平方
a2+b2=c2(2为平方)
早在公元前11世纪的西周初期，数学家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三角形具有这样的一个性质：如果直角三角形的两个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。利用商高的方法，很容易得到更一般的结论：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理或商高定理，西方称之为毕达哥拉斯定理。 勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系。人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达几十种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面。 人们发现，在直角三角形中，勾是6，股是8，弦一定是10；勾是5，股是12，弦一定是13，等等。而6^+8^=10^, 5^+12^=13^,…，即勾^+股^=弦^。是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这一性质。我国把它称为勾股定理。 勾股定理 ： 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。即：a^+b^=c^ 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，即， a^+b^=c^，那么这个三角形是直角三角形。