什么事概念性教学？

要学好数学这门学科，正确地理解数学中的各类概念是关键。从目前看来，绝大部分学生对于课本中的概念、定义、定理能够正确地背诵、默写出来，但能够正确地理解、掌握、应用却是很难做到。为此，我经过两年多时间，对学生进行数学概念理解、掌握、应用实践探讨，并在2004届初三（1）班44名学生用A、B两卷作了一次测试。学生先做A卷用30分钟时间完成；再做B卷用20分钟时间完成。
测试结果说明：
1、解概念题的能力比解常规算式题的能力弱得多。学生解常规算式题的平均成绩是88.59分，解概念题的平均成绩是48.63分（它们的标准相差甚微）。解常规算式题全对者占参加测试学生的47.5%，而解概念题全对者占参加测试学生的4.6%。由此可见，目前初中学生解概念题的能力与解常规算式题的能力相差甚远。
2、解概念题的得分与解常规算式题的得分相关程度不显著。一般的讲，解概念题的过程包含着解算式题。因此，解算式题能力差的学生，其解概念题的能力也强不了多少。这次测试解算式题中，共有3名学生考到最差成绩54分，他们解概念题的平均成绩是24.3分，明显低于全班解概念题的平均分48.63分，由此可见，解算式题能力差的学生，相对解概念题的能力也是差的。
但反过来讲，是不是解算式题的能力强的学生，解概念题的能力一定强呢？其答案也是否定的。在这次测试中，有一名学生算式题全对，但概念题的得分偏低仅为34分。经统计，学生解算式题的成绩与解概念题的成绩的相关系数仅0.54，正的相关系数说明解算式题的能力与解概念题能力是有些关系的。但0.54则说明关系不大，故不能简单说，目前运算学得好的学生其解概念题的能力就强。这又再一次说明了解概念题能力的培养，不仅仅是计算能力和解算式能力的培养，也不是只要他们能熟练地背出、默出，其内容应该丰富得多。
3、错误率最高的两道概念题的事例。错误率最高的一道概念题是 是最简单二次根式吗？参加测试的44名学生中只有2名学生答：这是一个根式的运算式。其余学生有的答不是最简二次根式，因为分母中有根式；有的学生答是最简二次根式，因为它符合最简二次根式的定义（1）被开方数的每一个因式的指数小于根指数2，（2）被开方数不含分母。前者把分母有理化要求与最简根式混为一谈，后者把根式的运算与最简根式混为一谈，故这两种回答都是错误的。错误率较高的一道概念题是 与X是恒等式吗？有的学生回答是：因为X=0时， 是无意义，所以 与X不是恒等式，只有当X≠0时， 与X才是恒等式；有的学生回答是：因为 与X在X取使这两式都有意义的任何值时两式的值都相等，所以是恒等式。两者回答不一致。前者认为：两个解析式是永恒等式应该满足（1）未知数的允许值范围相同。（2）对任意相同的未知数，两个解析式的值相等。后者认为：不管这两个解析式的未知数的允许值范围是否相同，只要在公共允许值范围内，相同的未知数这两个解析式总有相同的值即可。那么到底哪种回答是正确的呢？按照统编教材初中代数第二册106页对恒等式的定义，后者的回答才是正确的。
那么为什么会出现第一种错误的回答呢？问题的症结恐怕就在数学概念这一问题上。本人通过前阶段的概念教学实践探究后，觉得目前概念教学普遍存在两方面的不足：
一方面，在概念教学中忽视概念思维的培养、训练。其表现在：（1）缺乏定义的“变式”训练，而导致概念使用的呆板，致使“算术平方根”定义背得很熟，但见到方程 +1=0不能及时地判断其无解而照解不误。（2）缺乏完整的一个教学系统，事实上，这个系统应包括概念的自然引入；对概念术语、名称含义的具体解释、分析；剖析概念的本质属性并给出概念的明确定义；联系实例强调概念特征；有目的加强训练，使学生灵活运用概念去解决问题，同时巩固概念、形成牢固的概念。（3）缺乏用定义概念去代替被定义概念训练，以增强和熟练定义的实际运用。为此，概念教学中，应当加强对定义本身的逻辑规律认识，避免“以偏概全”等错误。
另一方面，概念教学的过程中，甚至还有一种错误认识，以为只要把概念牢牢记住，不必讨论它是如何形成的，或者不必过分强调思维过程。事实上对概念的形成过程，是学生在获取知识——概念的定义过程中把感性的（粗糙的）认识，通过思维上升到理性认识的过程。忽视了这一点就忽视了对其本质属性的知识规律的认识，也就无从谈起形成概念。
我们从概念题的测试中可以看到：目前课本中的概念、定义比较多，学生易背出，也易混淆绝大部分学生不易理解，更无法运用。所以，我觉得，首先要对多而集中的概念，按照各自的特点及教学影响的大小区别对待，做到有主有从，突出重要概念，不必求全，对这些重要概念应该让学生背熟且会表达、会理解能运用。
概念是反映对的思维形式，是构成判断、推理的要素，也是判断和推理的基础。其次，在概念教学中不仅仅要使学生掌握概念，更应该使学生学习应用概念来进行思维，提高解题能力。故本人通过两年来的概念教学实践探索后，认为在教学中要注意以下四点：
第一、注意数与形的结合，使学生在理解概念的基础上记忆。
东汉著名教育家王充说：“须任耳目，以定情实”。学生获得知识的过程，是有感性认识开始，然后才达到理性认识的。由于初中学生的思维想象能力差，所以对概念的理解缺少感性认识。因此，在概念教学时，对原始概念必须联系实际，从学生熟悉的实例引出，使学生对概念所描述的对象有尽可能多的感知。例如：“数轴”这个概念，为了帮助学生理解，便于记忆，增加对“数轴”想象能力，可以这样理解“轴”：顾名思义，轴是直的，所以，轴是直线形的，既然成为数轴，则在轴上一定要表示数（实数）来，数是有大小的、有顺序的，把数按一定的顺序排列，就有了方向。所以把数轴定义为具有原点、正方向和单位长度的直线，缺其中一个条件就不是数轴。又如：几何中讲到直线时，可以教同学这样想象，直线是一根拉直的、无限长的、没有粗细的棉线。当然对那些非原始的概念理解，教师必须引导学生逐字逐句分析定义、语法、结构、解释定义的含义，说明定义所规定的概念属性，不可增减。这样进行概念教学，学生理解透彻，也记得牢固。
第二、用对比方法进行概念教学，提高学生的辨别判断能力。
混淆，是学生学习概念时常见的错误之一。为了帮助学生克服这一缺点，可以利用概念结构的系统性，利用对原有概念的理解，区别易混淆的概念。作为一名数学教师必须重视这一现象，而且要用明确的、整体的、发展的观点来对待概念教学，做到能瞻前顾后，前呼后应，又能互相对比。这样，既能温故而知新，又能减少混淆的现象。例如：引导学生用对比的方法认识直线、射线、线段三者间概念的区别与联系，直线、射线、线段三者的联系表现为线段可以是直线和射线的一部分，射线可以是直线的一部分，线可以是直线的一部分。区别表现为三者的短点个数不同，换句话说方向延伸性不同。又如：求作等腰三角形的对称轴，有的同学把等腰三角形底边上的高看作是一条线段，这是由于概念不清所导致的。还有如：四个内角相等的四边形是什么四边形？有的同学错答为正方形，正方形是特殊的矩形，由于没有搞清这两个概念的从属关系，所以判断出现了偏差。因此，随着知识的迁移，对某些概念应该予以比较，使学生掌握概念的共性和个性，彻底理解每一个概念，防止应用概念的盲目性，提高辨别、判断能力。
第三、抓住新旧概念之间的联系，贯穿新概念教学的始终。
数学是一门严谨而系统性很强的学科，各部分知识联系紧密，新知识往往是旧知识的深化和发展。所以在新概念教学中，要抓住新旧知识的联系，这样才能提高课堂教学效果。例如：在教学分式时，分式是学生第一次接触的新概念，而分数是学生非常熟悉的旧知识，由于分数是分式的特例，分式是分数的普遍形式，它们有许多相仿之处。所以，在教学过程中从概念、运算，都可以对两者作类比分析。一方面，抓住“分数”、“分式”的分子即除的意思，讲清它们相仿的地方；另一方面，从一个是“数”，一个是“式”（代数式），找出它们的区别，讲清分式比分数复杂的地方和要注意的问题。这样做，既节省了教学时间，又收到了较好的效果。又如： 等于多少？有的学生错答成±3。分析其错误的原因是把 误认为是9的平方根。所以，在概念教学时，必须要使学生既要掌握概念的本质，又要掌握概念表达的对象范围和表示这个概念的符号。
第四、正确应用好概念教学，促使学生巩固其所学的知识。
学习概念，掌握概念的目的是在于应用。每一个概念就是一个信息源，它闪烁着问题的“条件”和“结论”，是思维的启发器，是解题中不可缺少的链条。有些问题在题设中蕴涵着某些因素，需要某一个概念去发掘、去开拓。这就要求教师在教学中，积极地引导学生，细心观察与分析，灵活地运用概念，促使问题迎刃而解，从而培养学生思维的敏捷性和灵活性。故在讲解例题时，所用到的知识和技能，教师必须有意地渗透融化在讲解概念之中，这样可以培养学生的逻辑思维能力，增强学生对概念的理解和运用。此外，一个概念的教学，常常又不是一次完成的，需要经过多次反复的深化来完成。
总之，在教学中，涉及概念的地方，一定要高度重视，由浅入深，“步步为营”，积极启迪学生思维的培养，让学生牢固地掌握概念的实质及概念间的联系与区别。理解概念的脉络与体系，有目的地创设问题情景，深化概念教学，所以，使学生能够顺利地掌握好概念，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。