58问答库 > 若锐角三角形ABC中，tanA=4t，tanB=t,则此三角形最大内角的正切的最小值是？

若锐角三角形ABC中，tanA=4t，tanB=t,则此三角形最大内角的正切的最小值是？

2024-11-19 06:17:46

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回答（1）：

在三角形ABC中，有tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC（自己根据tan的合角公式推吧）
由此得tanC=5t/(4t^2-1)
又三角形ABC是锐角三角形，所以tanC>0，有t>1/2
下面对最大内角关于t讨论：
（由于是锐角三角形，故只要比较其内角的正切的大小，又4t>t>1/2>0，有B>A，所以只要比较B、C的大小即可）
若t=3/4，则最大内角的正切为tanC=tanB=3
若1/24t，即tanC>tanB，此时最大内角为C，
当1/2>3
若t>3/4，则5t/(4t^2-1)<4t，即tanC 当t>3/4时，tanB=4t>3
综上，当t=3/4时，此三角形最大内角的正切取得最小值，为3