设f(x)=X^5+5X+1
f(0)=1,f(-1)=-3
所以在区间(-1,0)f(x)和x轴有交点,即X^5+5X+1=0区间(-1,0)内有实根
f'(x)=5x⁴+5＞0
所以f(x)是单调递增函数,与x轴只有一个交点
综上所述方程X^5+5X+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根
令f(x) = x^5+5x+1
则f'(x) = 5x^4 + 5, 导函数在(-1,0)上恒大于0
所以f(x)严格递增, 又因为f(-1) = -1 -5 +1 = -5 < 0, f(0) = 1 > 0且f(x)在(-1,0)上连续
由中值定理可得, 必定存在t属于(-1,0)且f(t)=0. 因为严格递增, 此t必定唯一.
f(-1)=-5,f(0)=1
求导5x^4+5>0恒成立，所以函数在定义域内单调递增
所以在(1,0)只有一个实根
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