什么是对称正定矩阵

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。

正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

扩展资料：

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：A是正定矩阵；A的一切顺序主子式均为正；A的一切主子式均为正；A的特征值均为正。

对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即单位矩阵。
　　所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
　　正定矩阵的性质：
　　1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即 |A|≠0。
　　2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
　　3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。

令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。