设X=1和X=2是f(x)=alnx+bx2+x两个极值点。 若f(x)在(a+1,b+n)为减函数，在（a+2n，b+2n)为增函数，求n范围

f(x) = a lnx + bx^2 + x
∵零和负数无对数，∴定义域：x＞0
f'(x) = a/x +2bx +1
x=1和x=2是f(x)=alnx+bx2+x两个极值点：
f‘(1) = a+2b+1 = 0......(1)
f‘(2) = a/2+4b+1 = 0......(2)
a = -2/3 ，b = -1/6
f(x) = -2/3 lnx - 1/6 x^2 + x
f'(x) = -2/(3x) - 1/3 x + 1 = (-2-x^2+3x)/(3x) = -(x-1)(x-2)/(3x)
x＞0
x∈(0,1)时单调减；x∈【1,2)时单调增；x∈【2,+∞)时单调减

a = -2/3，b=-1/6
在(a+1,b+n)为减函数，即f(x)在(1/3，n-1/6）为减函数，n-1/6＜1，n＜7/6
在(a+2n,b+2n)为增函数，即在(2n-2/3，2n-1/6)为增函数，2n-2/3≥1，且2n-1/6＜2，∴ 5/6≤n＜13/12
综上： 5/6≤n＜13/12

设X=1和X=2是f(x)=alnx+bx2+x两个极值点
故有f'(1)=0,f'(2)=0
f'(x)=a/x+2bx+1
有a+2b+1=0，a/2+4b+1=0
解得 a=-2/3 b=-1/6
f'(x)=-2/3x-x/3+1=-(x-1)(x-2)/3x
由于定义域：x>0
增区间：(1,2)
减区间：(0,1) (2,正无穷)

减：(a+1,b+n)=(1/3,n-1/6)∈(0,1) 有1/3增：(a+2n,b+2n)=(2n-2/3,2n-1/6)∈(1,2) 有1≤2n-2/3, 2n-1/6≤2 解得 5/6≤n≤13/12
故5/6≤n≤13/12

楼上的讲解很到位

我也觉得楼上说的不错！