已知函数f（x）=ax3+x2-x（1）若a=-14，求证：f（x）有且只有2个零点；（2）当a＞0时，证明函数在（-23a

2024-11-23 05:25:11

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回答（1）：

（1）若a=-

，则f（x）=-

x³+x²-x，
则f′（x）=-

x²+2x-1，
由f′（x）=-

x²+2x-1＞0得

＜x＜2，此时函数单调递增，
由f′（x）=-

x²+2x-1＜0得x＜

或x＞2，此时函数单调递减，
即当x=

，函数取得极小值f（

）=-

＜0，
当x=2时，函数取得极大值f（2）=0，
则f（x）有且只有2个零点．

（2）当a＞0时，f′（x）=3ax²+2x-1，
由f′（x）=3ax²+2x-1=0=3a（x+

）²-

3a+1

，
对称轴为x=-

，所以所给区间（-

，-

）在对称轴左侧，
最小值为f′（-

）=-

3a+1

，
因为a＞0，所以f′（-

）=-

3a+1

＜0，
即在区间（-

，-

）上，f'（x）＜0恒成立，
所以所给区间为单调减区间．
f（-

）=

18a+4

27a2

＞0，f（-

）=

3a+4

27a2

＞0，
所以在这个单调区间上无零点．
即函数在（-

，-