为什么|A|=0不是Ax=0有非零解的充要条件

2025-04-03 23:40:02

推荐回答（5个）

回答（1）：

|A|=0可以推出AX=0但是不能确定x为非零，x也可为零。所以AX=0有非零解的充要条件是|A|=0且x不等于0。

A化到相抵标准型A=PDQ，其中P和Q可逆，D=diag{I_r,0}。
A的行列式为0说明D中的零块存在，或者说r小于A的阶数。
显然Dy=0有非零解，取x=Q^{-1}y即得Ax=PDy=0。

这一类的结论属于基本功，应该好好看教材。

回答（2）：

Ax=0 则A为0或者x为0，|A|=0仅仅表示A=0，故|A|=0仅仅是Ax=0的充分非必要条件

回答（3）：

只有当A是n*n型矩阵，|A|=0是Aⅹ=0的充分必要条件，当不是方阵时,不存在丨A丨,所以Ax=0不能反推出lAl=0,故不是充分必要条件

回答（4）：

当A为方阵时是充要条件，因为不是方阵时不存在行列式。

回答（5）：

这里x=0也是符合题意的啊，不是互相矛盾吗