计算三重积分I=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是Ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1⼀2)与z=2-x^2-y^2所围成的闭区域

2024-11-09 18:48:27

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回答（1）：

结果为：

解题过程如下：

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求三重积分闭区域的方法：

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ。

若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点。

果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。区域条件：对积分区域Ω无限制；函数条件：对f（x,y,z）无限制。

先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

回答（2）：

第四题你的写法是对的，答案应该不是16π/3

另外，你的做法并不是柱坐标系计算，而是极坐标计算，下面给出柱坐标系的计算，你会发现最终答案和你是一样的

第三题的列式是对的，具体计算没细看

回答（3）：

选用柱坐标表示：0≤θ≤2Pi，0≤r≤1，r2≤θ≤2-r2，