三角形重心证明（详细）

重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB中点。  三角形重心

  证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。   

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。   

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。   

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3   

5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。   证明：刚才证明三线交一时已证。   

6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点 

　　已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。 

  三角形的三条中线必交于一点

求证：AE=CE 

　　证明：延长OE到点G，使OG=OB 

　　∵OG=OB,∴点O是BG的中点 

又∵点D是BC的中点

∴OD是△BGC的一条中位线 

∴AD∥CG 

　　∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 

∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG 

　　∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形　

∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

作CM‖BD，与AF延长线交于M点，连结CM、BM，
因D是AC的中点，则DO是三角形AMC中位线，AO=MO，
EO是三角形ABM的中位线，
BM‖CO，
四边形BMCO是平行四边形，
F是其对角线交点，根据平行四边形对角线互相平分性质，
故F是BC的中点。