我知道实系数一元二次方程若有虚数根，则必有两个共轭虚数根，但推广到高次方程，是否有类似规律，请证明

我们用z'来 表示z的共轭
设 z是实系数 anx^n + a(n-1) x^(n-1)....a1 x + a0 = 0的虚数根
即anz^n + a(n-1) z^(n-1)....a1 z + a0 = 0
两边取共轭有 (anz^n + a(n-1) z^(n-1)....a1 z + a0 )' =0'
即 (anz^n)' + (a(n-1) z^(n-1))'....(a1 z)' + (a0 )' =0
即an'z^n' + a(n-1)' z^(n-1))'....a1' z' + a0 ' =0
即an(z')^n+ a(n-1) (z')^(n-1)....a1 (z)' + a0 =0
变形过程中，用了实数的共轭是其本身这个性质
最后一个等式，说明z'也是方程的根。
所以
实系数方程的虚根必 共轭成对出现

是有这个规律，从方程曲线图像可以看出，一元三次方程有一部分是一元二次方程的形式，也就是可以把一元三次方程看成是一元二次和特殊一元三次（y=kx³）的组合，而一元四次可以看成是两个一元二次方程的组合（此形式已经被费拉里正证明）。它们都含有（或部分含有）一元二次方程的特性。
证明的话我不会，不知道从何说起。只能这样简单的和你说，不晓得你能明白不。
一元三次方程的图像呈“N”字形或倒N形；一元四次方程图像呈“W”或“M”字形。往上类推。目前高于四次的方程没求根公式，据说是无解。

高次方程可以分解成几个相对低阶的多项式乘积，所以，也有须根存在