柯西极限存在准则的充分性怎么证明？求数学大神

2024-10-30 21:48:12

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首先柯西序列是有界的，这个很好证明，你可以自己证一下，下面要用到一个很有用的引理：有界序列必存在收敛子列，这是关于实数性质的基本定理，证明较繁，但是直观上很好接受。有了这两点就可以证明柯西收敛原理的充分性了（这是柯西当年没有完成的）：设序列{an}是柯西序列，则它是有界的，因此{an}存在收敛子列{ank}，设limank=a，即对任意ε，存在N1，使得nk>N时有|ank-a|<ε/2，根据柯西序列的定义，又知对这个ε，存在N2，使得n，nk>N2时有|an-ank|<ε/2，因此现在取N=man(N1,N2)，当n>N时就有|an-a|≤|an-ank|+|ank-a|<ε/2+ε/2=ε，这就证明了{an}收敛，也就证明了柯西收敛原理的充分性。