π^e 与e^π 如何比较大小？

数学题

2024-11-01 05:44:25

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回答（1）：

按计算器呗～哈哈。硬要自己判断的话：
考虑更一般的情况，设a和b是两个不同的正实数，在什么条件下成立a^b>b^a?
两边取自然对数后再整理，等价于
ln(a)/a>ln(b)/b
可以看出，判别a^b与b^a的大小关系可以通过确定函数
ln(x)/x
的单调情况来得到。
记f(x)=ln(x)/x,则
f(x)的一阶导数=(1-ln(x))/x^2 (1)
(1)式当x>e时小于0，0由一阶导数与函数单调性的关系，f(x)在[e,+无穷大)严格单调递减
因此，ln(e)/e>ln(π)/π ,故e^π >π ^e
***结束***

回答（2）：

同时取对数

回答（3）：

令f(x)=x-elnx
则f(e)=e-elne=0,f`(x)=1-e/x
当x=e,f`(e)=0
当x>e,f`(x)>0,f(x)严格单调递增
则f(pi)>f(e)=0,即pi-elnpi>0,pi>elnpi
两边取e的指数有e^π>π^e