已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x

2024-11-19 07:46:40

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回答（1）：

（1）∵f（x?y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x₁ ，x₂ ∈（0，+∞）且x₁ ＜x₂ ，
则

x 2

x 1

＞1，
∴f（

x 2

x 1

）＞0，
∴f（x₁ ）-f（x₂ ）=f（x₁ ）-f（

x 2

x 1

?x₁ ）=f（x₁ ）-f（

x 2

x 1

）-f（x₁ ）=-f（

x 2

x 1

）＜0
∴f（x₁ ）＜f（x₂ ），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=

，y=1得，f（

×1）=f（

）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=

得，f（1）=f（3×

）=f（3）+f（

），
∵f（

）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（

x-2

）＞f（9），f（x）＞f（

x-2

）
∴

x＞0

x-2＞0

x(x-2)＞9

，
解得x＞1+

．
∴x的取值范围为（1+

，+∞）