高数 有界函数和无穷小的乘积仍为无穷小 为什么？

从定义来说明，对于有界函数则存在M，使得|f（x）|≤M，|f（x）g（x）|≤｜f（x）｜｜g（x）｜=M｜g（x）｜。

则对任意的ξ，存在N，使x>N时，有|g（x）｜<ξ，现在只要把N换为另一个数，使得｜g（x）｜<ξ/M即可，这样的N是肯定存在的。

扩展资料

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

7、利用两个重要极限公式求极限

许多人学习微积分，我以为现代科学中，微积分是得到了广泛的应用的。但是，有一点本文需要提出，就是无穷大和无穷小，都是我们生活的现实世界中不存在的。

那么，不存在为什么还要学？这些概念为什么还要掌握？原因在于，虽然不存在，但是，无穷大和无穷小的概念，是一种很好的对于“特别大”和“特别小”的概念的近似。或者你把特别大叫非常大，特别小叫非常小也行。

那么，什么叫现实世界呢？也可以叫我们生活在其中的物理世界，或者物质世界，这个世界，根据唯物主义的观点，是物质的，是很客观存在的。

但是英国哲学家波普有一个观点我也很同意，就是除了物理世界是客观的，我们头脑中想的世界是主观的，还有一个世界叫知识世界，也是客观的。

知识世界里有各种各样的东西，是物理世界中没有的，但是也不依赖于人类的头脑存在，是客观存在的。比如说，一个一元二次方程有两个根，这是客观存在的，但是它们存在在什么地方？是物理世界吗？物理世界中没有根这种东西。是存在于人们的头脑中吗？

假想人类社会灭亡了，但是一元二次方程仍然有两个根，它们依然存在于知识世界中，以后宇宙又出现了新的生物，新的生物又研究数学，因此而进入知识世界，而重新发现一元二次方程有两个根。

因此，数学世界基本上就是在知识世界中，所以诺贝尔奖不发给数学家，是因为诺贝尔奖只发给在物理世界中有新发现的科学家。

下面我要讲，物理世界中是没有无穷小的，也没有无穷大。但是这两个概念是对于有限的特别的小和特别的大，是一个很好的近似，会导致理论的简洁，思考起来方便，容易。

首先我这个人是属于电学专业的人，而电学专业是用到了大量的微积分知识的。例如，最常见的，电流的定义，就是单位时间通过一个截面的电荷量。这个电荷量可以在计算中划分成很小很小。所以我们可以使用电荷的导数作为瞬间电流

从定义来说明，对于有界函数则存在M，使得|f（x）|≤M，|f（x）g（x）|≤｜f（x）｜｜g（x）｜=M｜g（x）｜，则对任意的ξ，存在N，使x>N时，有|g（x）｜<ξ，现在只要把N换为另一个数，使得｜g（x）｜<ξ/M即可，这样的N是肯定存在的

不是有届函数的话也就是说0乘以无穷大的话就不一定是0了

f(x)为有界函数，那么|f(x)|≤M，M为非负常数，M<∞，因此有界函数和无穷小的乘积为无穷小