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A的转置乘以A的秩等于 A乘以A的转置的秩，也等于A的秩,是否正确?

2025-03-26 12:17:36

推荐回答（5个）

回答（1）：

不正确。

A是实矩阵就可以，实矩阵是指A中元素都是实数，不一定是对称矩阵。此时 r(A^TA) = r(A)，证明方法是用齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解，A不一定是方阵, 不一定可逆。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

扩展资料：

计算矩阵 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

例如：考虑 4 × 4 矩阵。

我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A的行梯阵形式：

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。

参考资料：百度百科——秩

回答（2）：

不正确。

计算矩阵 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

扩展资料

应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程（未知数）的数目，则方程有唯一解；如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

回答（3）：

A是实矩阵就可以

实矩阵是指A中元素都是实数

不一定是对称矩阵.

此时 r(A^TA) = r(A)

证明方法是用齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解.

A不一定是方阵, 不一定可逆

同济大学编写高教出版的教材上写的很清楚。A乘A的转置x=0与Ax=0是同解方程。同解故等秩。证明略。

回答（4）：

证他们同解即可。设 A是 m×n 的矩阵.
1，首先Ax=0 是 A'Ax=0 的解。
2，A'Ax=0 → 两边同乘以x’则有x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0
故两个方程是同解的.根据同解的定理，他们两个的秩就相等。证A乘以A的转置的秩等于A的秩同理。

回答（5）：

同济六版线代教材

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