如何判断一个矩阵是否可对角化

如果所有特征根都不相等，绝对可以对角化，有等根，只需要等根（也就是重特征值）对应的那几个特征向量是线性无关的，那么也可以对角化，如果不是,那么就不能了。

矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵或枝前分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。

扩展资料：

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示。

用力矩阵乘以位移衫清向量来刻画相互作用。求系统的解搭察的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式）。

这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加 。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解 。

参考资料来源：百度百科-矩阵

1、判断方阵是否可相似对角化的条枣行绝件：带亮

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。

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相关推论

1、若

有n个不同的特征值，则A可对角化。因为复数域上的n次多项式恰有n个根，所以我们还有下面的推论。 

2、如果A的特征多项式在复数域上的根互不相等，那么A作为复数域上的矩阵一定可以对角化。

3、如果

是

的所有互不相同的特征值，各特征子凳姿空间

的基排列如下：

那么上述特征向量组线性无关，从而特征子空间的和是直和。

参考资料来源：百度百科-对角化

将矩阵A的特征多项式完全分解雹改， 求出A的特征值及其重数，若k重特征值都有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。否则不能对角化。

举例说明：

1. 看这个矩阵是否能对角化，暂且把这个定义成A矩阵。

   

2. 需要用到一源咐判个公式，如下图所示，我们这一步就是直接按照公式套入就可以了。

   

3. 把上一步得到的结果进行整简让理，结果是一个行列式。然后按照展开法则进行展开。

   

4. 得出这个算式的指，也就是这个行列式的特征根。

   

5. 对这两个根进行讨论，然后求出来基础解系，然后我们根据基础解系来判断是否能够进行对角化。

   

n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n.
实际判断方法：（1）先求特征值,如果没有相液轿派重的特征值,一定可对角化；
（2）如果有相重的特征值λk,其重数为k,那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化.
此外,实对称矩阵一定可闹贺对角化.
你可以对照课本上的例帆芹题或习题.

简单分知姿前析册扰一下即搭清可，详情如图所示

例如