D =
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
2 0 1 -1
1 -5 3 -3
D = -1
1 -5 3 -3
-5 1 3 -4
2 0 1 -1
3 1 -1 2
D = -1
1 -5 3 -3
0 -24 18 -19
0 10 -5 5
0 16 -10 11
D = -1
-24 18 -19
10 -5 5
16 -10 11
D =
10 -5 5
-24 18 -19
16 -10 11
D = 5
2 -1 1
-24 18 -19
16 -10 11
D = 5
2 -1 1
0 6 -7
0 -2 3
= 5*2*(6*3-2*7)
= 40
行列式
行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述"体积"的函数。
其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
特性
若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是， 矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数:求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释:行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定:若逆序数之和为偶数，则该项为正;若逆序数之和为奇数，则该项为负。
性质
逆序数
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。
基本性质
n阶行列式的性质:
性质1:行列式与他的转置行列式相等。
性质2:互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论:若一个行列式中有两行的对应元素(指列标相同的元素)相同，则这个行列式为零。
性质3:行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。
推论:行列式中有两行(列)元素对应成比例时，该行列式等于零。
性质4:行列式具有分行(列)相加性。
推论:如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。
性质5:行列式某一行(列)各元素乘以同一个数加到另一行(列)对应元素上，行列式不变。
二维向量组
行列式是向量形成的平行四边形的面积
设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量X和X'的行列式是:
经计算可知，行列式表示的是向量X和X '形成的平行四边形的有向面积。并有如下性质:
行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是:平行四边形面积为正当且仅当向量X和X'逆时针排列。 行列式是一个双线性映射。
三维向量组
设E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是:
这时的行列式表示X、X'和X''三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质:
行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个"三线性映射"，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。
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