分解因式

【不好意思，看到题目时太晚了】

储备知识：
1）因式分解定理：
如果x=a时，多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0，那么(x-a)是该多项式的一个因式。

当然 含有多个字母的式子 也同样成立，因为你可以把一个字母看做主元，其他字母看做常数，
比如x³+x²y+y²x+y³=x³+y•x²+y²•x+y³，其中y•x²的y，y²•x的y²，y³就可看做常数

x³+x²y+y²x+y³取x=-y代入
等于 –y³+y³-y³+y³=0，所以x+y就是其一个因式，

2）对称多项式：
一个含有多个字母的多项式，将其中任意两个字母对调，仍与原多项式一样，那么这个多项式是对称多项式。

比如：（a+b+c）³-a³-b³-c³
把a与b对调得 (b+a+c)³-b³-a³-c³与原多项式一样，
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³是对称多项式

而对于对称多项式 ，如果已知它含有一个低次数的因式，那么它必含有 相同类型其他因式。

比如已知（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式(a+b)
与a+b类型相同的因式有b+c，a+c
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式a+b ，b+c，a+c

解：1）xy(x²-y²)+yz(y²-z²)+zx(z²-x²)
观察易得 原式为 轮换对称多项式
取x=y代入，
原式
=y•y(y²-y²)+yz(y²-z²)+zy(z²-y²)=0
所以 x-y是原式的一个因式，
所以 y-z，z-x也是原式的一个因式

设xy(x²-y²)+yz(y²-z²)+zx(z²-x²)=k(x-y)(y-z)(z-x)
取 x=0，y=1，z=2代入
左边=0×1×(0²-1²)+1×2×(1²-2²)+2×0×(2²-0²)
=-6
右边=k×(0-1)×(1-2)×(2-0)=2k
所以 -6=2k
k=-3

所以 xy(x²-y²)+yz(y²-z²)+zx(z²-x²)=-3(x-y)(y-z)(z-x)

2）4（x²+11x+30）（x²+22x+120）-3x²
=4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3x²
=4[(x+5)(x+12)][(x+6)(x+10)] -3x²
=4(x²+17x+60)(x²+16x+60) -3x²
=(2x²+34x+120) (2x²+32x+120)-3x²

设a=2x²+33x+120
原式
=(a-x)(a+x)-3x²
=a²-x²-3x²
=a²-4x²
=(a+2x)(a-2x)
再把a=2x²+33x+120代回
原式
=(2x²+31x+120)(2x²+35x+120)
=(2x+15)(x+8) (2x²+35x+120)

3）设x²-5x-24=m²（m为整数）
4x²-20x-96=4m²
4x²-20x+25-121=4m²
【(2x)²2×2x×5+5²】-121=4m²
(2x-5)²-(2m)²=121
(2x-5-2m)(2x-5+2m)=121
因为 x，m都为整数
所以 (2x-5-2m)，(2x-5+2m)也都为整数
所以 (2x-5-2m)，(2x-5+2m)整除121

所以1）2x-5-2m=1，2x-5+2m=121
或2）2x-5-2m=121，2x-5+2m=1
或3）2x-5-2m=-1，2x-5+2m=-121
或4）2x-5-2m=-121，2x-5+2m=-1

或5）2x-5-2m=11，2x-5+2m=11
或6）2x-5-2m=-11，2x-5+2m=-11

因为要求的是m²，所以无需考虑m的正负
所以 1），2），3），4）只需求一个
5），6）中也只需求一个

由1）得4m=120
m²=30²=900
即 x²-5x-24=900
x²-5x-924=0
(x-33)(x+28)=0
x1=33，x2=-28

由5）得m=0，m²=0
即 x²-5x-24=0
(x-8)(x+3)=0
x1=8，x2=-3

综上所述，x的取值有33，-28，8，-3

【希望对你有帮助】