求动态规划0-1背包算法解释

01背包问题
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物 品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂败搭度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组 f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态 f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费侍桥用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)
for v=V..cost
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维察谈拿复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1]，这是显然的。

有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：

for i=1..N
ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么 任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

一个常数优化
前面的伪代码中有 for v=V..1，可以将这个循环的下限进行改进。

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的

for i=1..N
for v=V..0
可以改成

for i=1..n
bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
for v=V..bound
这对于V比较大时是有用的。

小结
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

下此尘面是我自己写的代码，用动态规划的方法解0/1背包问题。用VC6编译运行正确。供参考。
//这是头文件 knapsack.hpp
#ifndef KNAPSACK_HPP
#define KNAPSACK_HPP

using namespace std;

const int MAX_COUNT_OF_WIDGETS = 16;
const int MAX_CAPACITY_OF_KNAPSACK = 15;
/谈腊/ int CAPACITY_OF_KNAPSACK = 0;
/森侍禅/ int COUNT_OF_WIDGETS = 0;
/* This struct widget is defined. */
struct Widget
{
int m_iID;
int m_iVolume;
int m_iValue;
bool m_bSelected;
};

/* This struct knapsack is defined */
struct Knapsack
{
int m_iCapacity;
int m_iValue;
};

/*
* This struct will be used in DynamicPrograming().
* m_iMaxValue indicates the maximum value can be achieved when the count of
* widgets is i and the capacity of the knapsack is j;
* m_bSelected indicates to achieve the maximum value whether the i-th widget
* is selected under the same condition stated above.
*/
struct MemeorizeMark
{
int m_iMaxValue;
bool m_bSelected;
};

class SolveKnapsack
{
public:
bool Init();
bool DynamicProgramming();
void PrintMaxValue()const;
void PrintSelection()const;

private:
Knapsack m_Knapsack;
Widget m_Widget[MAX_COUNT_OF_WIDGETS];
int m_iCountOfWidgets;
MemeorizeMark m_MemeorizeMark[MAX_COUNT_OF_WIDGETS][MAX_CAPACITY_OF_KNAPSACK];
};

#endif

========================================================
========================================================
//这是cpp文件 knapsack.cpp
#include
#include "knapsack.hpp"

using namespace std;

bool SolveKnapsack::Init()
{
/* initialize the knapsack */
cout << "Pls input the capacity of knapsack(0 < capacity <= " << MAX_CAPACITY_OF_KNAPSACK << "): " << endl;
cin >> m_Knapsack.m_iCapacity;
m_Knapsack.m_iCapacity += 1;

if ((0 >= m_Knapsack.m_iCapacity) || ((MAX_CAPACITY_OF_KNAPSACK + 1) < m_Knapsack.m_iCapacity))
{
cout << "Capacity is not correct" << endl;
return false;
}
else
{
m_Knapsack.m_iValue = 0;
}

/* initialize the widgets */
cout << "Pls input the count of widgets(0< count <= " << MAX_COUNT_OF_WIDGETS << "): " << endl;
cin >> m_iCountOfWidgets;
m_iCountOfWidgets += 1;

if ((0 >= m_iCountOfWidgets) || ((MAX_COUNT_OF_WIDGETS + 1) < m_iCountOfWidgets))
{
cout << "count of widgets is not correct" << endl;
return false;
}
else
{
for (int i = 1; i < m_iCountOfWidgets; i++)
{
m_Widget[i].m_iID = i;

cout << "Pls input widget[" << i << "]'s volume:" << endl;
cin >> m_Widget[i].m_iVolume;
if (m_Widget[i].m_iVolume <= 0)
{
cout << "widget's volume is not correct" << endl;
return false;
}

cout << "Pls input widget[" << i << "]'s value:" << endl;
cin >> m_Widget[i].m_iValue;
if (m_Widget[i].m_iValue <= 0)
{
cout << "widget's value is not correct" << endl;
return false;
}

m_Widget[i].m_bSelected = false;
}// end of for
}// end of if

/* initialize the MemeorizeMark */
for (int i = 0; m_iCountOfWidgets > i; i++)
{
for (int j = 0; m_Knapsack.m_iCapacity > j; j++)
{
m_MemeorizeMark[i][j].m_iMaxValue = 0;
m_MemeorizeMark[i][j].m_bSelected = false;
}
}

return true;
}

bool SolveKnapsack::DynamicProgramming()
{
/*
* variable i stands for the current count of widgets;
* variable j stands for the current capacity of knapsack.
*
* The following code segment is to compute the value of the optimal
* solution using dynamic programming.
*/
int i = 0;
int j = 0;
for (i = 1; m_iCountOfWidgets > i; i++)
{
for (j = 1; m_Knapsack.m_iCapacity > j; j++)
{
if (m_Widget[i].m_iVolume <= j)
{

if ((m_MemeorizeMark[i - 1][j - m_Widget[i].m_iVolume].m_iMaxValue + m_Widget[i].m_iValue)
>=
m_MemeorizeMark[i-1][j].m_iMaxValue)
{
m_MemeorizeMark[i][j].m_iMaxValue = m_MemeorizeMark[i - 1][j - m_Widget[i].m_iVolume].m_iMaxValue + m_Widget[i].m_iValue;
m_MemeorizeMark[i][j].m_bSelected = true;
}
else
{
m_MemeorizeMark[i][j].m_iMaxValue = m_MemeorizeMark[i-1][j].m_iMaxValue;
m_MemeorizeMark[i][j].m_bSelected = false;
}
}
else
{
m_MemeorizeMark[i][j].m_iMaxValue = m_MemeorizeMark[i-1][j].m_iMaxValue;
m_MemeorizeMark[i][j].m_bSelected = false;
}
}
}

/*
* The following code segment is to contruct the optimal solution
* from the computed information.
*/
i = m_iCountOfWidgets - 1;
j = m_Knapsack.m_iCapacity - 1;

m_Knapsack.m_iValue = m_MemeorizeMark[i][j].m_iMaxValue;
for ( ; 0 < i; i--)
{
if (true == m_MemeorizeMark[i][j].m_bSelected)
{
m_Widget[i].m_bSelected = true;
j = j - m_Widget[i].m_iVolume;
}
}

return true;
}

void SolveKnapsack::PrintMaxValue()const
{
cout << "Max value is: " << m_Knapsack.m_iValue << endl;
}

void SolveKnapsack::PrintSelection()const
{
for (int i = 1; i < m_iCountOfWidgets; i++)
{
if (true == m_Widget[i].m_bSelected)
{
cout << "Widget[" << i << "] is selected" << endl;
}
}
}

int main()
{
SolveKnapsack SK;
if (true == SK.Init())
{
if (true == SK.DynamicProgramming())
{
SK.PrintMaxValue();
SK.PrintSelection();
}
}

return 0;
}

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