如何根据素线场大大致画出微分方程的积分曲线？对于不易直观看出的情况，一般步骤是怎样的？

现根据素线场图形列出积分方程。

为：y'=dy/dx=x^2+y^2=x^2[1+(y/x)^2]故xd(y/x)=x^2[1+(y/x)^2]dx所以d(y/x)/[1+(y/x)^2]=xdx。

再左右两边积分得arctan(y/x)=x^2/2+C(C为常数)所以y=xtan(x^2/2+C)(C为常数)次方程即为积分曲线。

得到如图所示为微分方程的积分曲线：

扩展资料：

微分方程分类：

一般的n阶常微分方程具有形式。偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。

偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆形、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。

有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种形式中，这种偏微分方程则称为混合型。

最常见的二阶椭圆方程为调和方程：线性及非线性常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。

若是的一次有理式，则称方程  为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。一般的，n阶线性方程具有形式：其中均为x的已知函数。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

举个例子说明：

如图所示,是线素场
y'=dy/dx=x^2+y^2=x^2[1+(y/x)^2]
故xd(y/x)=x^2[1+(y/x)^2]dx
所以d(y/x)/[1+(y/x)^2]=xdx
左右两边积分得 arctan(y/x)=x^2/2+C(C为常数)
所以y=xtan(x^2/2+C)(C为常数)
次方程即为积分曲线

图下显示的就是积分曲线族

线素场可用mathematica或Matlab绘画出来的

例如Mathematica的代码是

VectorPlot[Vx, Vy, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]

原理是在区域内的每个(x,y)点画一个(Vx,Vy)的矢量

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d(y/x)应该等于dy/dx*(1/x)-y/x^2，上面减号后面漏掉了根本就不对。这个题是不能用初等积分法求解的，不过图像画的大概是对的