求解一道高中数学题

将ABC-A1B1C1，扩展为ABDC-A1B1C1D1，其中ABDC和A1B1C1D1都是菱形

连接CD1，A1D1，则在三角形A1CD1中角A1D1C就是AB1与A1C所成的角，设这个角为x

A1D1=(根号3)A1B1=2(根号3)，A1C=(根号2)AA1=2(根号2)，CD1=(根号2)CD=2(根号2)

所以：cosx=(A1C^2+CD1^2-A1D1^2)/(2*A1C*CD1)=1/4

选答案C

三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=CC1=2，

∴以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，

以AC为y轴,AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B1(3√,1,2),B(3√,1,0),C1(0,2,2)，

AB1−→−=(3√,1,2),BC1−→−=(−3√,1,2)，

设异面直线AB1和BC1所成角为θ，

则cosθ=|AB1−→−⋅BC1−→−||AB1−→−|⋅|BC1−→−|=28√⋅8√=14

∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为14.

故选：D.

向量 AB1*CA1＝(AB＋AA1)*(AA1 - AC)
＝AB*AA1 - AB*AC＋AA1² - AA1*AC
＝0 - 2*2*cos60º＋4 - 0＝2，
而 |AB1|*|CA1|＝|AB1|²＝|AB|²＋|AA1|²＝2²＋2²＝8，
所以它们夹角的余弦
＝|AB1*CA1| / (|AB1|*|CA1|)
＝2/8＝1/4。
选C