平方和公式是怎么来的？

推导过程：
由于 (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 ，
所以(n+1)3-n3=3n^2+3n+1,
n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于
1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得： 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

用数学归纳法证明，步骤如下：
1）当n=1时，显然成立。（该步骤不可少）
2）假设当n=k时成立，证明当n=k+1时,该式也成立。（具体证明自己凑一下）
由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立

利用数学归纳法可以证明，猜想，总结规律，证明

如果1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
那么1^2+2^2+……+n^2+(n+1)^2=n(n+1)(2n+1)/6+(n+1)^2=[n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2]/6={(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}/6
=[(n+1)(2n^2+n+6n+6)]/6
=[(n+1)(2n^2+7n+6)]/6
=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
满足公式，又因为1^2=1*（1+1）（2*1+1）/6
所以成立

这个是可以找规律的。