三维柯西不等式，等式成立条件怎么求

二维：(a²+b²)(x²+y²)≥(ax+by)²。

恒成立(不需要条件)。

等号当且仅当。

a/x=b/y。

简单形1653式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系，不仅在排列形式上规律明显，具有简洁、对称的美感，而且在数学和物理中有重要作用。

扩展资料

一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方。在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式。

利用柯西不等式求最值的关键是根据已知条件，构造符合柯西不等式的形式及特点，然后利用柯西不等式求解最值，构造符合柯西不等式的形式时。

三维柯西不等式(a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2 <= (a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2）
、当且仅当a1/a2=b1/b2=c1/c2时等号成立。

三维形式的柯西不等式：(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)>=(ad+be+cf)^2
证明：
左边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+[(ae)^2+(bd)^2]+[(af)^2+(cd)^2]+[(bf)^2+(ce)^2]
右边=(ad)^2+(be)^2+(cf)^2+2(ad)*(be)+2(ad)*(cf)+2(be)*(cf)
根据均值不等式，有：
(ae)^2+(bd)^2>=2(ad)*(be)
(af)^2+(cd)^2>=2(ad)*(cf)
(bf)^2+(ce)^2>=2(be)*(cf)
所以左边>=右边，当且仅当ae=bd，af=cd，bf=ce时，等式成立
证毕

设两组数：(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)它们分别表示了三维空间中两个向量A和B可以发现,当A和B平行（方向相同或相反）时,柯西不等式取到等号,即存在一组不全为零的实数s和t使得sA+tB=0,这是柯西不等式取到等号的充分必要条件

柯西不等式证明