微分方程xy✀+y(lnx-lny)=0满足条件y(1)=e^3的解为y=___.

dy/dx=y/xln(y/x)
令y/x=u,y=ux
dy/dx=xdu/dx+u
xdu/dx+u=ulnu
1/u(lnu-1)du=1/xdx
∫1/u(lnu-1)du=∫1/xdx
∫1/(lnu-1)d(lnu-1)=ln|x|+ln|c|
ln|lnu-1|=ln|x|+ln|c|
lnu-1=cx
lny/x-1=cx
y/x=e^(cx+1)
y=xe^(cx+1)
e^3=e^(c+1)
c=2
所以
特解为：y=xe^(2x+1)

let

u=y/x

du/dx = y'/x - y/x^2

xy' = x^2.du/dx + y

=x^2.du/dx + ux  

xy'+y(lnx-lny)=0

xy'-yln(y/x)=0

[x^2.du/dx + ux]   - ux.lnu =0

x.du/dx + u  - ulnu =0

∫du/[u(lnu -1)] = ∫dx/x 

∫d(lnu-1) /(lnu-1) = ∫dx/x 

ln|lnu -1| = ln|x| + C'

y(1)=e^3

=> C' =ln(e^3-1)

ln|lnu -1| = ln|x| +ln(e^3-1)

lnu -1 =(e^3-1)x

lnu  =1+(e^3-1)x

u = e^[ 1+(e^3-1)x ]

y/x =e^[ 1+(e^3-1)x ]

y=x.e^[ 1+(e^3-1)x ]

如上图所示。

《无底洞》（又名“陷空山”）