微分方程dy⼀dx=xy⼀(x눀-y눀)满足条件y(0)=1的特解为？

简单分析一下，答案如图所示

令u=y/x,则原方程为
u＋xdu/dx＝u/(1-u^2)
即dx/x＝（1-u^2）du/u^3
两边同时积分得
∫dx/x=∫du/u^3-∫du/u
即lnx=-1/（2u^2）-lnu＋C
移项lnxu＝-1/（2u^2）＋C
即 xu=e^[-1/（2u^2）＋C]
将u=y/x代回
y＝e^[-x^2/（2y^2）＋C]
又代入y(0)=1得
C=0
故 y＝e^[-x^2/（2y^2)]

∵dy/dx＝xy/（x^2－y^2），∴dx/dy＝（x^2－y^2）/（xy）＝x/y－y/x＝x/y－1/（x/y）。
令x/y＝u，则：x＝uy，∴dx/dy＝u＋ydu/dy＝u－1/u，∴ydu/dy＝－1/u，
∴udu＝－（1/y）dy，∴2udu＝－2（1/y）dy，∴d（u^2）＝－2d（ln｜y｜），
∴u^2＝－2ln｜y｜＋C＝ln（1/y^2）＋C，
∴（x/y）^2＝－ln（y^2）＋C。
∵当x＝0时，y＝1，∴C＝0，∴给定的微分方程的特解是：（x/y）^2＋ln（y^2）＝0。