关于二元函数极限的问题

粗略的理解, 切线只是曲线在某点邻域上的一个线性近似.
将沿曲线运动的点换为沿切线运动, 难免产生一定的误差.
这个误差的大小一方面依赖于曲线与切线的接近程度,
另一方面依赖f(x,y)在该点附近的光滑程度.

对于问题中的例子, 考虑y² = x上的动点(a²,a), 与(0,0)处的切线x = 0上的动点(0,a).
两点间的距离只有a², 当a趋于0时算是相对高阶的无穷小.
但是对于固定的a, f(x,a)在x = 0附近有较为剧烈的变化,
表现为偏导数f'x(0,a) = -2/a², 随a趋于0而趋于无穷.
这导致虽然x变化不大(a²级别), 但是函数值变化还是较大(常数1).

郭敦顒回答：
对于举例f(x,y)=(y^2-x)^2/(y^4+x^2),来说，“自变量以沿着任意直线趋于（0,0）时极限都相等（趋于1）”是有待商讨的，
若y= kx，k≠0，则(y^2-x)^2/(y^4+x^2)=[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2]
则x→0，lim f(x,y)= lim f(x)= lim{[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2] }，这是0/0型求极限题，需用罗彼塔法则求解了，
x→0，lim{[（kx）^2－x] ²/[（kx）^4+（kx）^2] }
=[（kx）^2－x]²′/[（kx）^4+（kx）^2]′
=2[（kx）^2－x]× 2k²x/（4 k4x3+2k²x）
=2[（kx）^2－x]/（2k²x²+1）
=0/1=0。
“当点沿着y^2=x趋于（0,0）时，”
显然， (y^2-x)^2/(y^4+x^2)= (x-x)^2/( 2x^2)=0。

极限存在要左右极限相等。如果x,y的定义域有限制，很可能左右极限是不同的。